Condiciones de equilibrio

Una condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por sí sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma línea de acción, sí producen equilibrio. 

El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de suspensión; inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase por el límite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de gravedad pase siempre por ella. 

Análisis del equilibrio

La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son: 

1. El resultado de la suma de fuerzas es nulo. 

2. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. 

• Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones es la solución de la condición de equilibrio. 
• Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador. 

Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformidad de los sólidos y sus efectos internos. 

Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse. 

Primera Condición de Equilibrio:

"Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación, si la fuerza resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre él es nulo."

Matemáticamente:

Para el caso de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano cartesiano xy se reduce la fuerza resultante en cada uno de los ejes x e y es cero: 

 

Geométricamente esto implica que estas fuerzas, al ser graficadas una a continuación de la otra, de modo tal que el extremo de cada una coincida con el origen de otra, formen un polígono cerrado. 

 

Para el caso particular que sobre el cuerpo actúan solo tres fuerzas, estas deben formar un triángulo de fuerzas. 

 

PROBLEMA 

Si la esfera mostrada en la figura es de 20N, y el módulo de la fuerza F aplicada es de 80 N, determinar los módulos de las reacciones del apoyo en A y B. 

 

Hagamos DCL de la esfera teniendo presente que las reacciones del apoyo en A y B son perpendiculares a las superficies en contacto y se grafican "entrando" al cuerpo que se analiza. 

 

Teniendo presente que los ángulos de la dos perpendiculares son iguales, deducimos que la reacción del apoyo en A (RA) forma con la vertical un ángulo que es igual al ángulo diedro 2θ. 

Por otro lado, tenido presente que los ángulos alternos internos entre rectas paralelas son iguales, deducimos que la fuerza F forma con la horizontal un ángulo θ. 

A continuación construyamos el triángulo de fuerzas tenido presente que la resultante de la reacción del apoyo en B y el peso apunta hacia arriba. 

 

Se comprueba que el triángulo de fuerzas es un triángulo equilátero y por tanto: 

 

PROBLEMA: Una pelota de 300N cuelga atada a otras dos cuerdas, como se observa en la figura. Encuentre las tensiones en las cuerdas A, B Y C. 

  

SOLUCIÓN: 

El primer paso es construir un diagrama de cuerpo libre: 

 

  

Al sumar las fuerzas a lo largo del eje X obtenemos : 

S Fx = -A cos 60° + B cos 40° = 0 

  

Al simplificarse por sustitución de funciones trigonométricas conocidas tenemos: 

-0.5A + 0.7660B = 0 (1) 

  

Obtenemos una segunda ecuación sumando las fuerzas a lo largo del eje Y, por lo tanto tenemos: 

(Cos 30° + cos 50° ) 

0.8660A + 0 .6427B = 300N (2)  

En las ecuaciones 1 y 2 se resuelven como simultanea A y B mediante el proceso de sustitución. Si despejamos A tenemos: 

A = 0.7660 / 0.5 

 A = 1.532B  

Ahora vamos a sustituir esta igualdad en la ecuación 2 

0.8660(1.532B) + 0.6427B = 300N 

  

Para B tenemos: 

1.3267B + 0.6427B = 300N 

  

1.9694B = 300N 

B= 300N / 1.9694 

  

B= 152.33N 

  

Para calcular la tensión en A sustituimos B = 152.33 N 

A = 1.532(152.33N) = 233.3N 

      La tensión en la cuerda C es 300N , puesto que debe ser igual al peso.  

Segunda Condición de Equilibrio:

"La suma algebraica de los momentos o torques de todas las fuerzas respecto a un punto cualquiera es igual a cero."

Momento o torque de una fuerza 

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. 

La puerta gira cuando se aplica una fuerza sobre ella; es una fuerza de torque o momento.

Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. 

Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.  

En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza. 

Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento. 

Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras.  

Entonces,  considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza  es, matemáticamente,  igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro. 

Expresada como ecuación, la fórmula es 

 M = F • d 

Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A.  El momento de la fuerza F vale M = F • d

donde M es momento o torque 

F = fuerza aplicada 

d = distancia al eje de giro 

El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide comúnmente en Newton metro (Nm). 

Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale 15 N y la distancia d  mide 8 m, el momento de la fuerza vale: 

M = F  •  d = 15 N  •  8 m = 120 Nm 

La distancia  d  recibe el nombre de “brazo de la fuerza”. 

Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas.  

Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente.

  

Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.